Knapp's book on semisimple groups

Reiko10/14/2020, 11:18:35 PM

Preamble I used.

%This package is to create my macros and environments and to included useful math packages. %First part contains the differences from my abbreviations.sty %Bra-ket notations require{braket} require{physics} newcommand{\set}[1]{{#1}} newcommand{\dd}[1]{\mathrm{d} #1 } newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} %Same as abbreviations.sty. %Abbreviations of Greek letters def \a {\alpha} def \b {\beta} def \g {\gamma} def \G {\Gamma} def \d {\delta} def \D {\Delta} def \e {\epsilon} def \ve {\varepsilon} def \m {\mu} def \n {\nu} def \k {\kappa} def \l {\lambda} def \L {\Lambda} def \s {\sigma} def \S {\Sigma} def \r {\rho} def \o {\omega} def \O {\Omega} def \th {\theta} def \Th {\Theta} def \t {\tau} def \z {\zeta} %Abbreviations of mathbb fonts newcommand{\R}{\mathbb{R}} newcommand{\N}{\mathbb{N}} newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} newcommand{\C}{\mathbb{C}} newcommand{\V}{\mathbb{V}} %%vector spaces newcommand{\W}{\mathbb{W}} %%vector spaces %Abbreviations of mathcal fonts def \Oc{\mathcal O} def \Ac{\mathcal A} def \Bc{\mathcal B} def \Cc{\mathcal C} def \Dc{\mathcal D} %Abbreviations of Lie algebras newcommand{\glie}{\mathfrak{g}} %%generic Lie algebra newcommand{\gllie}{\mathfrak{gl}} %%general linear newcommand{\sllie}{\mathfrak{sl}} %%special linear newcommand{\solie}{\mathfrak{so}} %%special orthogonal newcommand{\splie}{\mathfrak{sp}} %%symplectic newcommand{\nlie}{\mathfrak{n}} %%nilpotent or solvable algebra newcommand{\plie}{\mathfrak{p}} %%nilpotent or solvable algebra newcommand{\hlie}{\mathfrak{h}} %%abelian factor newcommand{\klie}{\mathfrak{k}} %%maximal compact subalgebra newcommand{\blie}{\mathfrak{b}} %%Borel subalgebra %Others newcommand{\greenfunction}[1]{\langle #1\rangle} %%green functions renewcommand{\vev}[1]{\langle #1\rangle} %%green functions renewcommand{\H}{\mathcal{H}} %%Hilbert spaces newcommand{\p}{\partial} %%partial derivatives newcommand{\nn}{\nonumber} newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} newcommand{\Ind}{\operatorname{Ind}} DeclareMathOperator{\sign}{sign} renewcommand{\hbar}{\bar{h}} newcommand{\zbar}{\bar{z}} newcommand{\integral}[3][]{\int_{#3}\dd[#1]{#2}} rep: representation, module irrep: irreducible representation spec: spectrum

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Colliot要添加的功能

Reiko10/15/2020, 1:11:47 PM

现在mathjax启用braket等包还是用不了; multi line等环境未被正确识别,目前需要手动用放到math mode中

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文章名字至少要十个字

Reiko10/14/2020, 10:48:18 PM

这个帖子的1l存放一些技巧,2l用来存放我用到的导言区。 Markdown 和 LaTeX 的转换工具可见待补充,一些帖子同时存放在 Overleaf。 在 MathJax 中启用一些包的方式为 \require{},其支持的包可见 MathJax 文档 。 关于 MathJax 的一些介绍可见 SE 的帖子。 Markdown 基础语法可见 Markdown 中文文档。 交换图的绘制, LaTeX 中我用 tikz-cd 和 tikz 在线编辑器画简单的图,MathJax 的待补充,我好像看到 Colliot 有介绍。 放弃 Lyx ...... physics package 文档 基于 AxoDraw 的绘图界面 JaxoDraw,优点是绘图中兼容 LaTeX,缺点是 UI 太老,功能单一。 尤亦庄写的一个常见包的推荐。

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【翻译】Wilson《重整化群和epsilon展开》

Reiko10/13/2020, 11:13:31 AM

二十多年来AdS/CFT和十年多年来Conformal Bootstrap的进展极大的加深了我们对于非微扰物理的理解,而这或多或少起源于有效理论的范式在各个物理领域中的实践。有效理论的应用依然在拓宽,另一方面在中文区相关的资源似乎并不够充足。因此译者想翻译这方面的始祖文章之一,Wilson的《重整化群和\epsilon展开》,另一篇被翻译的相关的简短介绍是《重整化群和临界现象》。 译者第一次尝试翻译,人名不翻译,一些在文献中第一次出现的名词会用括号标注,初稿可能跳过一些不想翻译的段落,以后逐步完善。 重整化群和epsilon展开 Kenneth G. Wilson, J. Kogut 目录 介绍 重整化群和物理中的连贯性问题 目前的一些参考文献 Ising模型的一些基本结论 a 系统在临界温度附近的基本性质 对解析性的探寻:1. 平均场理论;2. Kadanoff理论 重整化群的平凡例子:Gauss型模型 s^4模型 .简化版的重整化群变换 \epsilon展开和一个非平凡的不动点 线性化方程和对\nu的计算 s^4模型(续) 无关变量和\epsilon展开 完整的重整化群变换 近似的递推公式 Polyakov的推导 一些数值结果 a 关于近似递推公式进一步的结果 自旋n点函数的标度定理 slow transients和对\epsilon的消除 临界指数的Feynman图计算(\epsilon展开) 在4-\epsilon维时空中张量算子的量纲 统计力学和场论的联系 精确重整化群的微分形式 a 重整化群变换的拓扑(不动点,轨迹和子空间) 不动点,子空间和重整化 多不动点,区域和普适性 不动点和反常量纲 目前为止对4维\phi^4理论非平凡不动点的徒劳探寻 结语 致谢附录:精确重整化群方程的简单解参考文献

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Zettl's book on Sturm-Liouville problem

Reiko10/13/2020, 11:27:40 AM

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分形子模型

Reiko10/13/2020, 11:22:17 AM

Preamble I used.

%This package is to create my macros and environments and to included useful math packages. %First part contains the differences from my abbreviations.sty %Bra-ket notations require{braket} require{physics} %Same as abbreviations.sty. %Abbreviations of Greek letters def \a {\alpha} def \b {\beta} def \g {\gamma} def \G {\Gamma} def \d {\delta} def \D {\Delta} def \e {\epsilon} def \ve {\varepsilon} def \m {\mu} def \n {\nu} def \k {\kappa} def \l {\lambda} def \L {\Lambda} def \s {\sigma} def \S {\Sigma} def \r {\rho} def \o {\omega} def \O {\Omega} def \th {\theta} def \Th {\Theta} def \t {\tau} def \z {\zeta} %Abbreviations of mathbb fonts newcommand{\R}{\mathbb{R}} newcommand{\N}{\mathbb{N}} newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} newcommand{\C}{\mathbb{C}} newcommand{\V}{\mathbb{V}} %%vector spaces newcommand{\W}{\mathbb{W}} %%vector spaces %Abbreviations of Lie algebras newcommand{\glie}{\mathfrak{g}} %%generic Lie algebra newcommand{\gllie}{\mathfrak{gl}} %%general linear newcommand{\sllie}{\mathfrak{sl}} %%special linear newcommand{\solie}{\mathfrak{so}} %%special orthogonal newcommand{\splie}{\mathfrak{sp}} %%symplectic newcommand{\nlie}{\mathfrak{n}} %%nilpotent or solvable algebra newcommand{\plie}{\mathfrak{p}} %%nilpotent or solvable algebra newcommand{\hlie}{\mathfrak{h}} %%abelian factor newcommand{\klie}{\mathfrak{k}} %%maximal compact subalgebra newcommand{\blie}{\mathfrak{b}} %%Borel subalgebra %Others newcommand{\greenfunction}[1]{\langle #1\rangle} %%green functions renewcommand{\vev}[1]{\langle #1\rangle} %%green functions renewcommand{\H}{\mathcal{H}} %%Hilbert spaces newcommand{\Ccat}{\mathcal{C}} %%categories newcommand{\Acat}{\mathcal{A}} %%categories newcommand{\Bcat}{\mathcal{B}} %%categories newcommand{\p}{\partial} %%partial derivatives newcommand{\nn}{\nonumber} %due to old version of MathJax newcommand{\set}[1]{{#1}}

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Z2 规范理论

Reiko10/13/2020, 9:42:44 AM

Preamble I used.

%This package is to create my macros and environments and to included useful math packages. %First part contains the differences from my abbreviations.sty %Bra-ket notations require{braket} require{physics} %Same as abbreviations.sty. %Abbreviations of Greek letters def \a {\alpha} def \b {\beta} def \g {\gamma} def \G {\Gamma} def \d {\delta} def \D {\Delta} def \e {\epsilon} def \ve {\varepsilon} def \m {\mu} def \n {\nu} def \k {\kappa} def \l {\lambda} def \L {\Lambda} def \s {\sigma} def \S {\Sigma} def \r {\rho} def \o {\omega} def \O {\Omega} def \th {\theta} def \Th {\Theta} def \t {\tau} def \z {\zeta} %Abbreviations of mathbb fonts newcommand{\R}{\mathbb{R}} newcommand{\N}{\mathbb{N}} newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} newcommand{\C}{\mathbb{C}} newcommand{\V}{\mathbb{V}} %%vector spaces newcommand{\W}{\mathbb{W}} %%vector spaces %Abbreviations of Lie algebras newcommand{\glie}{\mathfrak{g}} %%generic Lie algebra newcommand{\gllie}{\mathfrak{gl}} %%general linear newcommand{\sllie}{\mathfrak{sl}} %%special linear newcommand{\solie}{\mathfrak{so}} %%special orthogonal newcommand{\splie}{\mathfrak{sp}} %%symplectic newcommand{\nlie}{\mathfrak{n}} %%nilpotent or solvable algebra newcommand{\plie}{\mathfrak{p}} %%nilpotent or solvable algebra newcommand{\hlie}{\mathfrak{h}} %%abelian factor newcommand{\klie}{\mathfrak{k}} %%maximal compact subalgebra newcommand{\blie}{\mathfrak{b}} %%Borel subalgebra %Others newcommand{\greenfunction}[1]{\langle #1\rangle} %%green functions renewcommand{\vev}[1]{\langle #1\rangle} %%green functions renewcommand{\H}{\mathcal{H}} %%Hilbert spaces newcommand{\Ccat}{\mathcal{C}} %%categories newcommand{\Acat}{\mathcal{A}} %%categories newcommand{\Bcat}{\mathcal{B}} %%categories newcommand{\p}{\partial} %%partial derivatives newcommand{\nn}{\nonumber} %due to old version of MathJax newcommand{\set}[1]{{#1}}

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Shadow formalism

Reiko10/14/2020, 1:37:52 PM

%Preamble I used. require{physics} %Abbreviations of Greek letters def \a {\alpha} def \b {\beta} def \g {\gamma} def \G {\Gamma} def \d {\delta} def \D {\Delta} def \e {\epsilon} def \ve {\varepsilon} def \m {\mu} def \n {\nu} def \k {\kappa} def \l {\lambda} def \L {\Lambda} def \s {\sigma} def \S {\Sigma} def \r {\rho} def \o {\omega} def \O {\Omega} def \th {\theta} def \Th {\Theta} def \t {\tau} def \z {\zeta} %Abbreviations of mathbb fonts newcommand{\R}{\mathbb{R}} newcommand{\N}{\mathbb{N}} newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} newcommand{\C}{\mathbb{C}} newcommand{\V}{\mathbb{V}} %%vector spaces newcommand{\W}{\mathbb{W}} %%vector spaces %Abbreviations of Lie algebras newcommand{\glie}{\mathfrak{g}} %%generic Lie algebra newcommand{\gllie}{\mathfrak{gl}} %%general linear newcommand{\sllie}{\mathfrak{sl}} %%special linear newcommand{\solie}{\mathfrak{so}} %%special orthogonal newcommand{\splie}{\mathfrak{sp}} %%symplectic newcommand{\nlie}{\mathfrak{n}} %%nilpotent or solvable algebra newcommand{\hlie}{\mathfrak{h}} %%abelian factor newcommand{\klie}{\mathfrak{k}} %%maximal compact subalgebra newcommand{\blie}{\mathfrak{b}} %%Borel subalgebra %Others %\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 \vert} %\newcommand{\ket}[1]{\vert #1 \rangle} %\newcommand{\braket}[2]{\langle #1\vert #2\rangle} %\newcommand{\greenfunction}[1]{\langle #1\rangle} %%green functions newcommand{\vev}[1]{\langle #1\rangle} %%green functions renewcommand{\H}{\mathcal{H}} %%Hilbert spaces newcommand{\Ccat}{\mathcal{C}} %%categories newcommand{\Acat}{\mathcal{A}} %%categories newcommand{\Bcat}{\mathcal{B}} %%categories newcommand{\p}{\partial} %%partial derivatives newcommand{\nn}{\nonumber} %Abbreviations of Lie algebras newcommand{\glie}{\mathfrak{g}} %%generic Lie algebra newcommand{\gllie}{\mathfrak{gl}} %%general linear newcommand{\sllie}{\mathfrak{sl}} %%special linear newcommand{\solie}{\mathfrak{so}} %%special orthogonal newcommand{\splie}{\mathfrak{sp}} %%symplectic newcommand{\nlie}{\mathfrak{n}} %%nilpotent or solvable algebra newcommand{\hlie}{\mathfrak{h}} %%abelian factor newcommand{\klie}{\mathfrak{k}} %%maximal compact subalgebra newcommand{\blie}{\mathfrak{b}} %%Borel subalgebra Shadow transform as an intertwining operator to be added Shadow transform from momentum space Gillioz, Momentum-space conformal blocks on the ight cone 这篇文章讨论如何通过动量空间的完备关系来得到shadow transform。下面我会通过1d CFT的计算来展示这个过程。 一般性的讨论 1d OPE代数, begin{equation} \phi_{i}\left(x_{1}\right) \phi_{j}\left(x_{2}\right)=\sum_{k} c_{i j}^{k} D_{i j}^{k}\left(x_{1}, x_{2},\p_2\right) \phi_{k}\left(x_{2}\right) end{equation} 平移的作用下不是平凡的, D_{i j}^{k}\left(x_{1}, x_{2},\p_2\right)=\frac{1}{|x_{12}|^{\D_{i}+\D_{j}-\D_{k}}}F_{11}\left(\D_{i}-\D_{j}+\D_{k}, 2 \D_{k} ; x_{12} \partial_{2}\right)] Shadow transform in NR-CFT to be added

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现在可以编辑帖子本身啦!

Colliot10/14/2020, 12:35:25 PM

这个「编辑」按钮终于不再是摆设!

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Kontsevich' talk on Axiomatic QFT

Reiko10/13/2020, 11:24:26 AM

Haag Kastler axioms (Lorentzian, flat) sterwalder Schrader axioms(Euclidean, flat) Bruneffi-Fredehhagen-Verch axioms(Lorentzian, curved) or any spacelikehypersurface, ass a Hilbert space, lobally hyperbolic Atiyah-Segal axioms(Euclidean, curved) linear algebra uppose some vector space V over R, (V): C -valued quad forms on V st existing real basis, form is diagonal, eigenvalue in C-0 sum arg(\lambda_i)<\pi \lambda\in C-R_<0 Q_C(V) \subset GL(d,C)/O(d,C), aka ,non-deg sym matrices. Facts: Q is contractible closure in is homotopic to S^1 domain of holomorphy W\subset V, restriction Q(V)\to Q(W) Definition of unitary QFT ordisms_C-met \to nulear Frechet spaces and nuclear maps oth sides are non-unital mor: M,g_C) compact real-analytic manifold with oriented bdry, _C is sections of the Q-bundle. obj: d-1 manifold + collar + metric on collar, neaclear space: proj limits of Hilbert spaces axioms: holomorphicity semi-continuity positivity or unitarity Holomorphicity _\sigma: wave functionals is holomorphic on infinite dim manifold Met_C(collar of \sigma) phi_M: holomorphic on Met_C(M) ovariance Diff(Collar_sigma) acts on H_\sigma eg partial M=0 _M=C, \phi_M is just partition function. g_C \to Z(M,g_C) is holo on the infinite-dim manifold nvariant under Diff(M) M,g_C \to M_C, g^hol_C consider all maps {\tilde{i}: M\to M_C: \tilde{i} close to i } conclusion: _C nstead of allowable metrices \simto allowable totally real submanifold

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Latest Replies

Reiko replied to Knapp's book on semisimple groups

3 Smooth Vectors and the Universal Enveloping Algebra 定理: 对于李群G和实李代数glie,有U(glie^{C})和G上左不变微分算子D(G)的自然同构。 讨论紧李群的有限维表示时直接求(李)导数就可以给出对应李代数的表示。对于无穷维表示首先就遇到无界算子定义域的问题,例如考虑幺正表示的时候,回忆Stone定理,单参数幺正子群e^{t A}和反自伴算子A一一对应,考虑A的多项式时需要进一步缩小定义域。为此对于表示H定义光滑矢量vinH要满足, [gto r(g)v] 对于gin G是光滑的。光滑矢量空间记为C^{infty}(r)。 由此可定义r诱导的U(glie^{C})的表示, [r(X)v=lim_{tto 0}frac{r(e^{t X})v-v}{t}] 为了看到C^{infty}(r)在H中是稠密的,我们可以考虑Garding子空间,定义为r(f)v张成的空间。

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一般框架 下面开始讨论在Hilbert空间上的表示r:Gto U(H),连续性要求为Gtimes Hto H连续,这里没记错的话和强连续以及弱连续等价。算子模连续过强不会得到有趣的东西。强弱连续在物理上的含义就是我们只需要观测量的连续性。 Schur引理:不可约性等价于自等变算子必定是常数算子。这件事情对比较一般的拓扑群成立,是有界算子spec定理直接推论。Etingof的讲义中讨论过别的无穷维版本的Schur引理。 选取左不变Haar测度dd x,可以自然构造左正则表示L, [g(f(x))=f(g^{-1}x)] 其中fin H=L^2(G,dd x) 考虑正则表示的动机之一是沿袭有限群和紧群表示论的思路,另一个动机可以考虑如下的图像。 几何空间的对称性,例如G作用到M上, [r:Gto Diff(M)] 函子乘法自然诱导G在M相关的对象(子结构,丛等等)上的作用,一般的如果有函子F,那么, [GtoDiff(M)to Aut(F(M))] 我们可以考虑相应的例如拓扑问题,G不变微分方程问题,M上带有对称性的函数(例如自同构形式,好像其他人翻译成自守形式)问题等等。一般的几何作用比较复杂,最简单的是考虑G在L^2(M)上的作用, 线性化 G表示为幺正有界算子 对角化 分解该表示为不可约子表示(cf. Double centralizer thm) 分类 分类所有幺正irrep 回到表示问题,我们经常需要smeared算子,或者说算子值分布。对于表示r,以及fin L^1(G),定义, [r(f)v=int_G dd{x}f(x)r(x)v] 以f为权重对r(x)做平均。换句话说诱导群代数L^1(G)的表示。 讨论: 对于正则表示,L^1cap L^2态和算子一一对应,和算子态对应的关系是什么。 在第三章讨论对群表示求导得到代数表示中的微妙。 第五节回顾紧群理论,例如Peter-Weyl定理。 两个无穷维表示的拓扑张量积问题,nuclear空间。

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2 Reps of Small Groups 我们用物理约定,和Knapp的符号差一点,

%%[begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}]%% begin{align} z'&=r(z)=frac{az+b}{cz+d}z&=-frac{dz-b}{cz-a} pdv{z'}{z}&=(cz+d)^{-2} D&=h+hbar=1+is D^S &=2-D=1-is J&=|h-hbar|infrac{1}{2}Z J^S&=-J hat{f}(p)&=int f(x) e^{-ipx} end{align} S for shadow, D for dimension and J for spin. Unitary Irreps of SL(2,C) (幺正)主列表示r_{D,J}作用在H=L^2(C)上,

begin{align} rbegin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}f(z,zbar)&=(pdv{z'}{z})^h (pdv{zbar'}{zbar})^{hbar}f(z',zbar') &=(cz+d)^{-2h}(bar{c}zbar+bar{d})^{-2hbar}f(z',zbar') &=|cz+d|^{-2-2is}arg^{2J}(cz+d)f(z',zbar') end{align} J的取值保证单值性,遵循物理中primary算子的变换关系,但需要把量纲延拓到主列上。在单位元附近的连续性可用控制收敛定理看出。这里也可以用共形紧化提升到线性作用。 对于SO(3,1)cong PSL(2,C)=SL(2,C)backslash set{pm 1},单值性限制自旋为整数。 主列表示的幺正性:定义内积为, [(f,g)=int f g^{*}] D的实部贡献和Jacobian相消,因此是不变内积。 讨论: 补充列表示的内积需要另行定义。SL(2,C)没有离散列; 物理中Hilbert空间的幺正性(以及给出的幺正下界)对应Lorentzian共形群的幺正性,或者说原点表示和无穷远表示配对的正定性,在这种意义下主列是非幺正的(出现在celestial CFT中)。 主列表示的不可约性:由平移,旋转和伸缩生成的上三角子群已经可以说明不可约性(这点来自于诱导表示)。下面计算和上三角子群交换的算子A必须为常数算子。 和平移交换(Af)(z+a)=A(f(z+a))在Fourier空间为, [hat{Af}] 略去 Unitary Irreps of SL(2,R) 限定在z=zbar上。 离散列

Reiko replied to Colliot要添加的功能

隐藏功能:可以隐藏一部分文字,来保证行文的连贯性。

Colliot replied to 文章名字至少要十个字

stacks project 好像用的是 XyJax(一个 xy-pic 的实现) 来做交换图。

Reiko replied to Colliot要添加的功能

可选的自动调整中英文字符间距功能, 用该功能后自动识别中英文字符中是否有一个 blank,如果没有则自动添加。

Reiko replied to Colliot要添加的功能

这个是physics包,现在这个包虽然require了但是还是用不了。

Colliot replied to Colliot要添加的功能

好了,标题可以展示数学公式了。

Colliot replied to Colliot要添加的功能

a<b 你好 a<b a<b [ a < b ] 1