如果 $X, Y$ 是独立的随机变量,如何证明 $\mathrm{E}[XY]=\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[Y]$?

即独立的随机变量,它们乘积的期望值,等于期望值的乘积。


Preview:

Cancel

让我们来回想「独立」的随机变量的定义。「独立」,意味着它们的联合概率密度,等于它们各自的概率密度的乘积:

$$f_{x,y}(x, y) = f_{x}(x) f_{y}(y)$$

如何联系到期望值上来呢?回想期望值与概率的关系,一元的情况:

$$\mathrm{E}[X]=\int x f_x(x)\mathrm{d}x$$

二元的情况:

$$\mathrm{E}[XY]=\iint xy f_{x,y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

注意到里面那项联合概率密度,在「独立」的情况下,刚好可以被替换掉:

$$\begin{eqnarray} \iint xy f_{x,y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y &=&\iint xy f_{x}(x) f_{y}(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \nonumber \\ &=&\iint (x f_{x}(x) \mathrm{d}x) (y f_{y}(y)\mathrm{d}y) \nonumber \\ &=&\int x f_{x}(x) \mathrm{d}x \int y f_{y}(y)\mathrm{d}y \nonumber \\ &=&\mathrm{E}[X] \mathrm{E}[Y] \nonumber \end{eqnarray}$$

等式利用了二重积分变量分离的简单性质。

Created at 9/16/2019, 12:02:40 PM

Home

Babel

Knowledge

Epistemology

Settings