布朗运动(维纳过程)对应的样本空间 $\Omega$ 到底是什么?

它似乎是一个很大、很难把握的空间,是这样吗?


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是的,它很大。样本空间是所有可能性的反映,布朗运动看起来是某类「函数图像」的集合,这种集合必然很大(函数的集合,就是集合的乘方啊!)。

我们可否将它取得很小呢?让我们来试试。

对每个固定的 $t$,我们都有 $X_t$ 是一个 $\Omega$ 上的随机变量。这看起来可以是「一维」的。那么能否取 $\Omega = \mathbb{R}$ 呢?我们要求对于 $t \neq s$,$X_t$ 和 $X_s$ 要是独立同分布的随机变量。注意到随机变量是 $\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 的函数。

Created at 9/17/2019, 5:00:19 PM

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