Login
Create new posts
$\newcommand{\D}[0]{\mathrm{D}}$ $\newcommand{\U}[0]{\mathrm{U}}$
举一个非常简单的例子,抛硬币,正面就加一分,反面减一分。记 $S_t$ 为第 $t$ 次抛硬币之后累积的总分,那么 $\{S_t\}$ 就是一个关于 $t$ 的随机过程。
假如我们一共抛三次。
那么它的样本空间是怎样的呢?其实样本空间并不是唯一的,但我们可以取一个非常符合直觉的样本空间——一共 3 次,每次的可能性有 $U, D$ 两种,整体的可能性是 3 个 $U, D$ 组成的序列。由乘法原理,一共有 $2^3=8$ 个这样的序列,即样本空间的大小是 8。我们可以把样本空间写出来:$\Omega = \{\U\U\U, \U\U\D, \U\D\U, \U\D\D, \D\U\U, \D\U\D, \D\D\U, \D\D\D\}$
这个随机过程长啥样呢?按照定义,在每个确定的 $t$ 处,$S_t$ 都是一个随机变量,即一个「样本空间到实数的函数」$S_t: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$,也就是上述的「八元素集合」到实数的函数。实际上我们可以精确把握每个 $S_t$:
在以上过程中我们其实已经自然得到了关于随机过程 $ \{ S_t \} $ 的自然过滤 (natural filtration) 了。
再举一个衍生的例子,继续上面说的,我们再来搞一个看起来怪异的单次分数。记 $x_i$ 为第 $i$ 次抛硬币得的分,那么 $\{x_i\}$ 是否也是一个关于 $i$ 的随机过程呢?
当然是。
那么如果我们抛无限次呢?