能否举一个离散随机过程的例子,帮助我们更好地理解随机过程?

比如随机过程的样本空间到底长啥样?随机过程的「过滤」是怎样的?


Preview:

Cancel

$\newcommand{\D}[0]{\mathrm{D}}$ $\newcommand{\U}[0]{\mathrm{U}}$

举一个非常简单的例子,抛硬币,正面就加一分,反面减一分。记 $S_t$ 为第 $t$ 次抛硬币之后累积的总分,那么 $\{S_t\}$ 就是一个关于 $t$ 的随机过程。

假如我们一共抛三次。

那么它的样本空间是怎样的呢?其实样本空间并不是唯一的,但我们可以取一个非常符合直觉的样本空间——一共 3 次,每次的可能性有 $U, D$ 两种,整体的可能性是 3 个 $U, D$ 组成的序列。由乘法原理,一共有 $2^3=8$ 个这样的序列,即样本空间的大小是 8。我们可以把样本空间写出来:$\Omega = \{\U\U\U, \U\U\D, \U\D\U, \U\D\D, \D\U\U, \D\U\D, \D\D\U, \D\D\D\}$

这个随机过程长啥样呢?按照定义,在每个确定的 $t$ 处,$S_t$ 都是一个随机变量,即一个「样本空间到实数的函数」$S_t: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$,也就是上述的「八元素集合」到实数的函数。实际上我们可以精确把握每个 $S_t$:

  1. $S_0 \equiv 0$,这是因为抛 0 次硬币,总是得 0 分(初始状态)
  2. 对于 $x \in \{\U\U\U, \U\U\D, \U\D\U, \U\D\D \}$ 有 $S_1(x)=1$,对于 $x \in \{\D\U\U, \D\U\D, \D\D\U, \D\D\D \}$ 有 $S_1(x)=-1$,即 $S_1$ 在 $\U$ 打头的样本处取 $1$,在 $\D$ 打头的样本处取 $-1$。这是因为样本点的第一个字母,代表了第一次抛硬币的结果,而 $S_1$ 仅仅与第一次抛硬币的结果有关
  3. 对于 $x \in \{\U\U\U, \U\U\D \}$ 有 $S_2(x)=2$,对于 $x \in \{\U\D\U, \U\D\D, \D\U\U, \D\U\D \}$ 有 $S_2(x)=0$,对于 $x \in \{\D\D\U, \D\D\D \}$ 有 $S_2(x)=-2$。这同样是根据定义算出来的,$S_2$ 就是前两次结果两个向上则为 $2$,一上一下则为 $1-1=0$,两个向下则为 $-2$。
  4. 同理,对于 $x \in \{ \U\U\U \}$ 有 $S_3(x)=3$,对于 $x \in \{ \U\U\D, \U\D\U, \D\U\U \}$ 有 $S_3(x)=1$,对于 $x \in \{ \U\D\D, \D\U\D, \D\D\U \}$ 有 $S_3(x)=-1$,对于 $x \in \{ \D\D\D \}$ 有 $S_3(x)=-3$。

在以上过程中我们其实已经自然得到了关于随机过程 $ \{ S_t \} $ 的自然过滤 (natural filtration) 了。

再举一个衍生的例子,继续上面说的,我们再来搞一个看起来怪异的单次分数。记 $x_i$ 为第 $i$ 次抛硬币得的分,那么 $\{x_i\}$ 是否也是一个关于 $i$ 的随机过程呢?

当然是。

那么如果我们抛无限次呢?

Edited at 9/18/2019, 12:56:29 PM

Home

Babel

Knowledge

Epistemology

Settings