如何理解用集合生成的 $\sigma$-代数呢?

有没有例子呢?


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我们考虑实数集 $\mathbb{R}$ 的由整数点构成的子集们的集合 $C= \{ \cdots, \{-2\}, \{-1\}, \{0\}, \{1\}, \{2\}, \cdots \}$。$C$ 是一个 $\sigma$-代数吗?

先来回顾 $\sigma$-代数的定义。一个 $\Omega$ 上的 $\sigma$-代数,是 $\Omega$ 的子集的集合 $\Sigma$,并满足以下条件:

  1. $\Omega \in \Sigma$
  2. 若 $A \in \Sigma$,则 $A$ 在 $\Omega$ 中的补集 $A^\complement \in \Sigma$
  3. 若 $A_i \in \Sigma, i = 0, 1, 2, \cdots$,则 $\bigcup_{i=0}^{\infty} A_i \in \Sigma$

显然不是,是吗?根据 $\sigma$-代数的在「并运算」下封闭的性质,比如如果 $\{1\}, \{2\}$ 都在里面,那么它们的并集 $\{1, 2\}$ 就在里面,但它并不是一个单点,所以并不在 $C$ 里面。

如果我们扩展它,加入所有这样的「子集的并」,比如 $\{ 1, 2 \}, \{ 1, 3, 4 \}$ 等等,它是否就是一个 $\sigma$-algebra 了呢?

也不是——它只满足了性质 3,尚未满足性质 2。根据性质 2,如果 $\{1\}$ 在里面,那么 $(-\infty, 1)\cup(1,\infty)$ 也必须在 $C$ 中,但它现在不在。这样的集合是「实数轴去掉一个整数点」,是两条射线的并。

我们再来扩展它,假如把所有这样的「双射线」加入 $C$,$C$ 是否就是一个 $\sigma$-algebra 了呢?

恐怕也不是——我们之前加入了 $B=\{ 1, 2 \}$,但是 $B$ 的补 $B'=(-\infty, 1)\cup(1, 2)\cup(1,\infty)$ 并不在里面。这样的集合,是我们之前加入的「并」的补,它们是「射线+一些线段+射线」,或者说是「实数轴去掉某些整数点」。

那么是不是再把所有的「并」的补加入,它就是一个 $\sigma$-代数了呢?

这些「并」的补的并集,看起来具有同样的形状——两个「实数轴去掉某些整数点」的集合并起来,无非还是「实数轴去掉另一些整数点」,更准确地说,是「实数轴去掉(之前两个集合)共同(去掉)的整数点」。

看起来这次没什么新的元素可以加入了。让我们最终来看看这个集合,并来验证一下它是否是 $\sigma$-代数。

现在的子集的集合,包含两种元素

  1. 有限个($0,1,2$ 或者任何自然数个)或者无限个整数点构成的集合,有限的如 $\{-1\}, \{-1, 2\}, \{-1, 0, 1, 3\}$,无限的如 $\{1, 2, 3, 4, \cdots\}$。
  2. 以上集合的补,即实数轴去掉有限或者无限个整数点得到的集合。

一个第一种子集的补是第二种子集,反之依然,故 $\sigma$-代数的第二个条件满足了。

容易验证,这两类集合内部或者跨类的并,要么是第一种子集,要么是第二种子集(实际上,如果取并的集合中包含第二类集合,那么结果就是第二类的,如果不包含,结果就是第一类的),那么第三个条件也满足了。

第一个条件显然是满足的,因为 $\mathbb{R}$ 可以被看作 $\mathbb{R}$ 子集去掉 $0$ 个点。

所以我们最后得到的集合是 $\sigma$-代数。

这个过程就是「用集合生成 $\sigma$-代数」——我们从一个不是 $\sigma$-代数的集合出发,参照 $\sigma$-代数的定义,找出它缺少哪些元素,把这些元素一一添加进去,最终得到了一个是 $\sigma$-代数的集合。

当然不是所有这样的过程都能在有限步内结束。对于所谓的 Borel 代数,这样的过程甚至在可数无限步内都不能结束!

Edited at 9/17/2019, 12:15:17 PM

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