级数发散敛散性无穷级数

证明 $\sum \dfrac{a_n}{1+na_n}$ 发散?

Colliot

假定 $a_n>0$,而 $\sum a_n$ 发散。

证明 $\sum \dfrac{a_n}{1+na_n}$ 发散


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$$\sum \dfrac{a_n}{1+n a_n}\\=\sum \dfrac{1}{1/a_n+n}$$

如果想这个和收敛,需要 $1/a_n$ 增长得足够快。虽然 $a_n$ 发散,导致 $1/a_n$ 不能增长地足够快,但我们只需要「对几乎所有 $n$」,$1/a_n$ 增长地足够快——只要剩下的 $n$ 增长地足够快就行。

比如可以像另一个答案那样选择当 $n$ 为 $2$ 的整数幂时,$a_n=1$(也就是让$1/a_n$增长得不足够快,但这时 $n$ 增长地足够快)来保证 $\sum a_n$发散,其余情况让$a_n=1/2^n$来保证$1/a_n=2^n$增长地足够快。

Edited at 07/29/2018

an/(1+nan) = 1/(n+1/an) > 1/n 而∑ 1/n发散,由比较判别法,原级数发散。

Created at 07/29/2018

感觉这是个假题 \[ a_n = \frac{1}{n} \] 对于$a_n$题目级数发散,然而 \[ b_n = \begin{cases}1\;\;,&n \in \{n \mid n = 2^{q}\; for\; some\;positive\;integers\; q\} \\ \frac{1}{2^n},&for \; other\; n \end{cases} \] 题目级数收敛

Edited at 07/29/2018

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