一致连续连续函数

若函数在实轴上连续,且在正负无穷都有极限,求证函数在实轴上一致连续?

Colliot

设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续,且 $f(+\infty), f(-\infty)$都存在(极限),求证 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续


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由于两极限存在,故对任意的 $\epsilon > 0$,存在 $C_1 > 0$ 使得只要 $ x >= C_1 $,就有 $$|f(x) - f(+\infty)| < \epsilon / 2$$

从而只要 $x_1 > C_1, x_2 > C_1$,就有 $|f(x_1) - f(x_2)| = |f(x_1) - f(+\infty) - (f(x_2) - f(+\infty)| < \epsilon/2 + \epsilon/2=\epsilon$。

同理,存在 $C_2 < 0$ 使得:只要 $x_1 < C_2, x_2 < C_2$,就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon$。

而函数在 $[C_2 - 1, C_1 + 1]$ 上连续,故在 $[C_2, C_1]$ 上一致连续。从而存在 $\delta$ 使得只要 $x_1, x_2 \in [C_2, C_1],|x_1-x_2| < \delta$,就有 $|f(x_1)-f(x_2)| < \epsilon|$。

不妨设 $\delta < 1/2$,对于 $|x_1 - x_2| < \delta$ 的 $x_1, x_2$,要么 $x_1, x_2 \in (-\infty, C_2)$,要么 $x_1, x_2 \in (C_1, +\infty)$,要么 $x_1, x_2 \in [C_2 - 1, C_1 + 1]$。无论那种情况,都有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon$。

Created at 10/25/2018

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