留数定理积分复变函数复分析

$\int_0^\infty1/(x^n+1)\mathrm{d}x$ 的值是?

Colliot

利用留数定理计算 $$\int_0^\infty\dfrac{1}{x^n+1}\mathrm{d}x$$

其中 $n$ 是正整数。


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设结果为 $I$。

让 $1/(x^n+1)$ 在一个扇形的边界上积分。扇形的原点是 $0$,圆周上两个边界点分别是 $r > 0$ 和 $r\mathrm{e}^{2\pi i/n}$。则 $1/(x^n+1)$ 在扇形区域内有唯一的 $1$ 阶极点 $\mathrm{e}^{\pi i/n}$。它的留数是 $$\frac{1}{n}\mathrm{e}^{-\frac{(n-1)\pi i} {n}}=-\frac{1}{n}\mathrm{e}^{\frac{\pi i} {n}}$$

另一方面,从 $r\mathrm{e}^{2\pi/n}$ 到 $0$ 的积分 $I_1$,由于 $$\left(x\mathrm{e}^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^n=x^n$$

所以 $$I_1=-\mathrm{e}^{\frac{2\pi i}{n}}I$$

在圆周上的积分 $I_2$,有 $$\left|\frac{1}{(x^n+1)}\right|<1/r^n$$

从而 $$I_2 < \frac{2\pi r}{n r^n} = \frac{2\pi}{nr^{n-1}}$$

当 $n > 1 $ 时,有 $$ r \rightarrow +\infty \Rightarrow I_2 \rightarrow 0$$

从而 $$I (1-\mathrm{e}^{\frac{2\pi i}{n}}) = - \frac{2\pi i}{n}\mathrm{e}^{\frac{\pi i} {n}} $$

则 $$I = - \frac{2\pi i}{n}\mathrm{e}^{\frac{\pi i} {n}} /(1-\mathrm{e}^{\frac{2\pi i}{n}}) = - \frac{2\pi i}{n} /\left(\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{\pi i}{n}}}-\mathrm{e}^{\frac{\pi i}{n}}\right)=- \frac{2\pi i}{n} /\left(-2i\sin(\pi/n)\right)=\dfrac{\pi}{n}/\sin\dfrac{\pi}{n}$$

Edited at 10/29/2018

$$\begin{align} &设I_1=\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^n+1},I_2=\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^n-1}\\ &并令f(x)=\frac{1}{x^n+1},g(x)=\frac{1}{x^n-1}\\ &考虑f(x)在(z=0)\to(z=R)\to(z=Re^{i\frac{\pi}{n}})\to(z= 0)的扇形上的积分\\ &有\oint_lf(z)dz=\int_{0}^{R}f(x)dx+\int_{C_R}f(z)dz+\int_{R}^{0}f(\rho e^{i\frac{\pi}{n}})d(\rho e^{i\frac{\pi}{n}})\\ &上面答案已经给出\int_{C_R}f(z)dz=0\\ &而\int_{R}^{0}f(\rho e^{i\frac{\pi}{n}})d(\rho e^{i\frac{\pi}{n}})=e^{i\frac{\pi}{n}}\int_{R}^{0}\frac{d\rho}{(\rho e^{i\frac{\pi}{n}})^n+1}=e^{i\frac{\pi}{n}}\int_{0}^{R}\frac{d\rho}{\rho^n-1}=e^{i\frac{\pi}{n}}I_2(R\to\infty)\\ &根据留数定理有\oint_lf(z)dz=2\pi iResf(e^{i\frac{\pi}{n}})=-\frac{2\pi i}{n}e^{i\frac{\pi}{n}}\\ &所以我们可以得到-\frac{2\pi i}{n}e^{i\frac{\pi}{n}}=I_1+e^{i\frac{\pi}{n}}I_2\\ &同样地,考虑g(x)在这个扇形上的积分,我们可以得到\frac{2\pi i}{n}=I_2+e^{i\frac{\pi}{n}}I_1\\ &所以联立两个方程即可解得I_1=\frac{2\pi}{n}\csc{\frac{\pi}{n}},I_2=-\frac{2\pi}{n}\cot{\frac{\pi}{n}}\\ &(不过结果算出来似乎与答案差了两倍,为什么呢)\\ &由于选取的路径经过了极点,因此在用留数定理计算左边的路径积分时正确结果应为\\ &\oint_lf(z)dz=\pi iResf(e^{i\frac{\pi}{n}})=-\frac{\pi i}{n}e^{i\frac{\pi}{n}}\\ &因此最后得到的答案应该是I_1=\frac{\pi}{n}\csc{\frac{\pi}{n}},I_2=-\frac{\pi}{n}\cot{\frac{\pi}{n}}\\ \end{align}$$

Edited at 10/30/2018

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