无穷乘积数学

这个无穷乘积的结果是多少?

$$\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)$$

Colliot12/16/2017, 9:04:23 PM

卧槽,Mathematica 算出来是 $\dfrac{\sinh\pi}{\pi}$!

Colliot12/16/2017, 9:46:34 PM

不会做 |_・)( _ _)ノ|壁

ztony12/16/2017, 9:53:09 PM

我感觉可以直观理解一下……

$$\sinh x = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} + \cdots $$

好吧直观理解不了……无法把里面 $\pi$ 的高次项消掉。

Colliot12/16/2017, 9:57:36 PM

上面打错了 QAQ 目前还没有修改功能。我好想有点头绪了,用 $$\dfrac{\pi^2}{6}=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots$$ 联合起来搞搞应该就能看见胜利的曙光。

Colliot12/16/2017, 9:59:43 PM

may help:

evaluate $\prod_{n=1}^\infty \bigl(1 + \frac1{n^2} + \frac1{n^4}\bigr)$, from math.se

nickname12/16/2017, 10:01:41 PM

根据资料 [1],关键在于以下结论 [2]: \[ \frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty \biggl( 1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2} \biggr) \] 该结论的证明,细节见 [3]. 以下简述过程:

  1. 将函数 $f(x) = \cos(\mu x),x \in (-\pi, \pi), \mu \notin\mathbb{Z}$ 傅立叶展开,得到式 1;
  2. 由连续性,取 $x = \pi$,可得 $\cot(\mu \pi)$ 的无穷级数展开,得到式 2;
  3. 限制 $\mu < 1$,可知式2中的无穷级数一致收敛,对式2在区间$\mu \in (0, x)$积分,即得到最初的结论. 还要回忆一下复变函数的知识,我们就能解答最初的问题了。

[1] Weisstein, Eric W. "Sinc Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. link

[2] Gearhart, W. B. and Schulz, H. S. "The Function sinx/x." College Math. J. 21, 90-99, 1990.

[3] R. Courant and F. John. "Introduction to Calculus and Analysis, volume I." Interscience Publishers, John Wiley & Sons. New York, 1965. p. 602.

nickname12/17/2017, 12:03:31 AM

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nickname replied to LaTeX 有哪些可以改进的地方?

希望改进为: 只用编译一次,中间过程全部走内存,可选辅助文件是否输出 原生支持unicode 字体选择,原生提供字体回退和自由分区 支持更多图片类型 提高图文混排功能 提高编译器的「智能程度」,减少行间公式环境的数量 其实相当于,基于目前的软硬件水平重新设计和制造。知乎有人估计过,以 google 水平的薪资,大概需要10人*年的工作量。

Colliot replied to 类型系统可以对写机器学习的代码有所助益吗?

看这个帖子有感——PyTorch 有哪些坑/bug?——不知道类型系统能不能帮助。

ice1000 replied to 渲染错误的 LaTeX 代码,单独提取

那应该是markdown太垃圾了。我们换个渲染器吧。 或者改下源码重新编译个markdown吧。

Colliot replied to 渲染错误的 LaTeX 代码,单独提取

你的姿势可能不对…… * 被 markdown 转换成 _ 了…… DeclareMathOperator{Set}{Set} eclareMathOperator{where}{where} eclareMathOperator{proof}{proof} eclareMathOperator{data}{data} eclareMathOperator{rev}{rev} eclareMathOperator{ff}{ff} eclareMathOperator{lemma}{lemma} eclareMathOperator{intro}{intro} eclareMathOperator{id}{id} eclareMathOperator{refl}{refl} eclareMathOperator{params}{params} eclareMathOperator{Vec}{Vec} eclareMathOperator{rewrite}{rewrite} eclareMathOperator{with}{with} eclareMathOperator{lhs}{lhs} eclareMathOperator{rhs}{rhs} eclareMathOperator{xs}{xs} begin{align} amp; data F : Bbb{N} rightarrow Set where amp; ff : (n : Bbb{N}) rightarrow F n

amp; proof _0 : {n : Bbb{N}} rightarrow F n rightarrow F n rightarrow F n amp; proof _0 (ff n) (ff {.}n) = ff n nd{align}

ice1000 replied to 说起来感觉上线之后没那么辣眼睛

谢谢虎哥 虎哥 人间的真男人 虎哥 我的偶像

ice1000 replied to 渲染错误的 LaTeX 代码,单独提取

虎哥,这个社区的槽点让我想虎哥化了。

ice1000 replied to 渲染错误的 LaTeX 代码,单独提取

在知乎,类似的 LaTeX 代码渲染正常。 只是这篇博客还没转载到知乎,就暂时参考的老博客。

ice1000 replied to 渲染错误的 LaTeX 代码,单独提取

LaTeX 代码出处: http://ice1000.org/2017/11/09/ProofInAgda5/ 的第一个代码块。

ice1000 replied to 渲染错误的 LaTeX 代码,单独提取

目前的状况:垃圾的一比,我空个行就识别错误了。

ice1000 replied to 渲染错误的 LaTeX 代码,单独提取

渲染测试:
eclareMathOperator{Set}{Set} eclareMathOperator{where}{where} eclareMathOperator{proof}{proof} eclareMathOperator{data}{data} eclareMathOperator{rev}{rev} eclareMathOperator{ff}{ff} eclareMathOperator{lemma}{lemma} eclareMathOperator{intro}{intro} eclareMathOperator{id}{id} eclareMathOperator{refl}{refl} eclareMathOperator{params}{params} eclareMathOperator{Vec}{Vec} eclareMathOperator{rewrite}{rewrite} eclareMathOperator{with}{with} eclareMathOperator{lhs}{lhs} eclareMathOperator{rhs}{rhs} eclareMathOperator{xs}{xs} begin{align} amp; data F : Bbb{N} rightarrow Set where amp; ff : (n : Bbb{N}) rightarrow F n

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